Eine Anwendung: Fourieranalyse
Die Fourieranalyse ist für jeden, der mit periodischen Vorgängen zu
tun hat, ein wichtiges Werkzeug. Unter anderem in der Diagnostik (EKG)
ist sie ein unverzichtbares Hilfsmittel, um Herzrhythmusstörungen
rechtzeitig zu erkennen. Wir wollen anhand eines kleinen Beispiels
herleiten, was die Quintessenz der Fourieranalyse eigentlich ist.
In Abbildung 4893 erkennen Sie zwei phasenverschobene
Schwingungen mit unterschiedlicher Kreisfrequenz aber gleicher Amplitude.
Darunter ist die graphische Summe dieser beiden Kurven angegeben.
Abb. 4893 Die graphische Addition zweier sinusförmiger Kurven
Die Summenkurve sieht schrecklich kompliziert aus. Es verwundert,
dass diese Kurve nur aus den oberen beiden entstanden ist. Wir bemerken
aber, dass die neue Kurve eine Eigenschaft der beiden alten mitbekommen
hat: auch sie ist eine periodische Funktion! Im Umkehrschluß könnte
man behaupten, dass jede periodische Kurve aus Sinuskurven zusammengesetzt
ist. Dies ist der Satz von Fourier:
Jede periodische Kurve läßt sich als Summe von
Sinuskurven darstellen!
Die Fourieranalyse macht genau das: Sie zerlegt (über komplizierte
mathematische Algorithmen) eine beliebige periodische Funktion in
die Sinusfunktionen, die diese Kurve in der Summe ergeben. Dabei reduziert
sich das Verfahren im wesentlichen darauf, die Amplituden und Kreisfrequenzen
der einzelnen Sinusfunktionen der Zerlegung herauszufinden.
Abb. 4894 Frequenzspektrum für die Schwingung in Abbildung 4893
In unserem Beispiel hättee eine Fourieranalyse ergeben, dass wir es
mit zwei Sinusfunktionen zu tun haben. Eine mit der Amplitude 
und der Frequenz 
und eine andere mit der gleichen
Amplitude und der doppelten Frequenz 
.
Dieses Ergebnis wird meist in Form eines Frequenzspektrums
angegeben, wie es in Abbildung 4894 dargestellt ist. Auf der 
-Achse werden die vorkommenden
Kreisfrequenzen markiert (als Vielfache von ), in
Ordinatenrichtung zeichnet man Linien, deren Länge ein Maß für die
Amplitude der zu dem betreffenden gehörigen Schwingung
ist.
und der Frequenz und eine andere mit der gleichen
Amplitude und der doppelten Frequenz .
Dieses Ergebnis wird meist in Form eines Frequenzspektrums
angegeben, wie es in Abbildung 4894 dargestellt ist. Auf der -Achse werden die vorkommenden
Kreisfrequenzen markiert (als Vielfache von ), in
Ordinatenrichtung zeichnet man Linien, deren Länge ein Maß für die
Amplitude der zu dem betreffenden gehörigen Schwingung
ist.
Dieses Frequenzspektrum war noch relativ einfach zu verstehen. Kompliziertere
Schwingungen haben natürlich auch sehr viel kompliziertere Frequenzspektren.
Betrachten wir das Frequenzspektrum in Abbildung 7598. Summiert man über die angegebenen Sinuskurven, dann erhält man Abbildung 7569. Man erahnt schon, warauf die Summation
hinausläuft: Es entsteht eine Rechteckschwingung. Man muss nur über
unendlich viele geeignete Sinusschwingungen summieren, um die kleinen
"Unterschwingungen" wegzubekommen. In diesem Bild sind nur die
ersten 6 Sinuskurven zusammengezählt.
